దేశంలో జరిగే అత్యంత ప్రతిష్టాత్మక పరీక్షల్లో మొదటి వరుసలో నిలిచేది ఐఐటి జె.ఇ.ఇ.ఎంట్రన్స్ పరీక్ష.
ఈ పరీక్షలో టాపర్ కావటమే ధ్యేయంగా ప్రిపేరయ్యే విద్యార్థులకు ఉపయోగపడే విధంగా విద్యార్థి దశలో అలవరచుకోవాల్సిన లక్షణాలేమిటనే విషయంలో ఐఐటికి మారుపేరుగా నిలిచి, విద్యార్థులకేగాక, విద్యారంగానికే స్పూర్తిగా నిలిచిన చుక్కా రామయ్య అందిస్తున్న ఐఐటి టాపర్ల లక్షణాలు, ఆలోచనా సరళి, సామర్థ్యాల విశ్లేషణ.బీజ గణితంలో విద్యార్థులకు అతి ముఖ్యమైన అంశం సమీకరణాల సాధన /Solutions of equetions సమీకరణాలను ఎలాంటి తడబాటు లేకుండా సాధించాలంటే బహుపదులు (Polynnomial) గురించి బాగా తెలియాలి. బహు పదుల నిర్మాణం, బహుపది పరిమాణం (degree) విలువ( value of a polynomial) ఇందులో వచ్చే ప్రాథమిక విషయాలు.

బహుపదులు రూపురేఖలపై మంచి అవగాహన ఏర్పడాలంటే సంఖ్యాశాస్త్రంపై మంచి పట్టు ఉండాలి. మనం నిత్యజీవితంలో సంఖ్యలు రాసేటప్పుడు 10 అంకెలు (0,1,3, 4, 5, 6, 7, , 9) ఉపయోగిస్తాం. దీనినే దశాంశ పద్ధతి (decimal system)గా పిలుస్తారు. దీనికి మరో పేరు base ten system. ఒక సంఖ్య విలువను చెప్పేటప్పుడు అది ఏ సంఖ్యామానంలో ఉందనేది మొదట చూడాలి. ఉదాహ రణకు 2567ను రెండు వేల ఐదు వందల అరవైఏడు అని చదువుతాం. ప్రతి అంకె విలువను విడిగా రాస్తే 2000, 500, 60, 7 అని అర్థం. వాటిని ఒక చోట చేర్చడం వల్ల 2000+ 500+60+7 అయింది. base ten కావడం వల్ల ఈ సంఖ్యారూపం ఇలా వచ్చింది. ఇంకా స్పష్టంగా చెప్పాలంటే 2x1000+5x100+6x10+7 అని లేదా
2x103+5x102+6x101+7x100 గా చెప్పవచ్చు. దశాంశ పద్ధతిలో ఏ సంఖ్య అయినా ఇలాగే రాయబడుతుంది. మరో ఉదాహరణ చూడండి. 2012, ఇది 2x103+0x102+1x101+2x100 కు సంక్షిప్త రూపం. ప్రతి సంఖ్య ఇలాగే ఉంటుంది. ఒక వేళ ఈ సంఖ్యలకు base అనేది 12 అయితే వాటి విలువ ఎలా ఉంటుందో చూండండి.
(2567)12= 2x123+5x122+6x121+7x120 అంటే
2x172+5x144+6x12+7x1= 4255 అనేది దశాంశ పద్ధతిలో దీనికి సమానమైన సంఖ్య అని అర్థం. అలాగే రెండు అంకెలు మాత్రమే వాడి రాసేది ద్విసంఖ్యామానం. ఇది కంప్యూటర్లలో వాడబడుతుంది. ఇందులో 0, 1 మాత్రమే ఉపయోగించి సంఖ్యలు రాస్తారు. (111) అంటే దాని విలువ 1x22+1x21+1x200
= 1x4+1x2+1x1 = 4+2+1= 7కు సమానం. ఇలా baseను ఏ సంఖ్యనైనా చేయవచ్చు. అవసరాన్ని బట్టి 5, 7, 16..ఇలా రకరకాల base systems ఉంటాయి. వీటిని సాధారణీకించినప్పుడు వచ్చేదే Polynomial. 2x103+0x102+1x101+2x100 లేదా2x103+5x102 +6x101+7x100 ఇలా రాసే బదులు base నిర్ధిష్టంగా చెప్పినప్పుడు (x అయితే) సంఖ్యారూపం 2xx3+0xx2+ 1xx1+2xx0 లేదా 2xx3+5xx2+ 6xx1+7xx0 అవుతాయి. వీటినే క్లుప్తంగా 2x3+x+2 లేదా 2x3+5x2+ 6x+7గా రాసి వాటిలో ఎన్ని పదాలు (terms) ఉన్నాయనేది చెప్తాం. రెండోదానిలో ఉండే పదాలను చూస్తే అవి 4 అని గుర్తించవచ్చు. base (ఇక్కడ) ఘాతాంకాలను గమనిస్తే అవి ‘0’ నుంచి 3 దాకా ఉన్నాయి. ఎక్కువ విలువ గలది 3. దానిని ఈ Polynomial కు degreeగా పిలుస్తారు. 2x3+5x2+6x+7 Polynomial degree 3 అట్లే 2x3+x+2 Polynomial degree కూడా 3 అవుతుంది. అయితే దీనిలో x2 పదం లోపించిడం వల్ల 3 పదాలే కన్పిస్తాయి. వీటిలో పదాలన్నీ వేటికవే స్వతంత్రం(Independent). అందుచే వాటన్నింటినీ కలిపేసి ఒకటి చేయడం సాధ్యం కాదు. xకు నిర్ధిష్ట సంఖ్యను ఇచ్చినప్పుడు అందుకు తగ్గట్లుగా బహుపది విలువలో మార్పు వస్తుంది. ఉదాహరణకు x విలువ 1 అయితే 2x3+x+2 అనేది 2+1+2 అంటే 5 అవుతుంది. అలాగే 2x3+5x2+6x+7 అనేది 2+5+6+7 అంటే 20 అవుతుంది. ఇందులో గమనించాల్సిన ముఖ్య విషయం ఏమిటంటే base ఘాతాంకం రుణసంఖ్య(Negative number) మాత్రం కాదు. అందుకే దానిని రుణేతర పూర్ణసంఖ్య (Non negative integer) అని పిలుస్తారు. baseతోపాటు ఉండే ఇతర సంఖ్యలు మాత్రం ఏ సంఖ్యా సమితికయినా చెందవచ్చు. అంటే సహజ సంఖ్యలు, పూర్ణాంకాలు, పూర్ణ సంఖ్యలు, అకరణీయ సంఖ్యలు, కరణీయ సంఖ్యలు, కల్పిత సంఖ్యలు ఇలా ఏవైనా కావచ్చు.

5x6+4x5-9x4-5/7x3+ రూపంలోనూ ఉండవచ్చు.
ఇలా Polynomialsను విశ్లేషించి చూసినప్పుడు Polynomial నిర్మాణం degree అనేది ప్రధాన విషయాలుగా గమనించాలి. సాధారణీకరించి చెప్పేటప్పుడు a0xn+a1xn-1+a2xn-2+a3xn-3+....an గా రాస్తారు. ఇలా Polynomialకు సంబంధించిన ప్రాథమిక విషయాలపై మంచి అవగాహన ఏర్పడిన తర్వాత సమీకరణాలు (equations) సమీకరణాల సాధన (solution of equations) గురించి అధ్యయనం చేయాలి.

- వ్యాసకర్త ః గణితశాస్త్ర నిపుణులు, విద్యావేత్త